和算里的弧长之幂级数公式(二)(The formula of

2020-06-25 5376

连结:和算里的弧长之幂级数公式(一)

〈和算里的弧长之幂级数公式(一)〉里,介绍了和算家建部贤弘所造的弧长幂级数公式,本文中,我们将以建部贤弘所用的方法为例,说明当时的数学家如何造出与弧长相关的正确幂级数公式。

建部贤弘《缀术算经》书中所提出的第十二个问题为「探弧数」,当中他详细地说明了如何造出弧长公式的方法。假设圆直径为一尺,欲求某段「弧长之半的平方」之值,建部贤弘首先「截矢一忽之弧二斜,次截造四斜,次截造八斜,次截造十六斜,逐如此倍截之数,求各截半背幂,依累遍增约术,得定半背幂。」这里他先利用了割圆的方式,计算出弧长的近似值,再以他发明的数值逼近方法「累遍增约术」,求得弧长近似值五十余位,并称之为「定半背幂」。

换句话说,上述定半背幂 \((\frac{s}{2})^2\) 这个数值,是建部贤弘所计算出,并认定正确的弧长近似值。
接着,建部据此数值,反过来探求弧长之幂级数公式。

图一为《缀术算经》探弧数之参考图形,
这里我们令圆直径 \(\overline{BE}\) 为 \(R\)、矢 \(\overline{BD}\) 为 \(a\)、\(ABC\) 弧长为 \(s\) 且弦长 \(\overline{AC}\) 为 \(c\)。

和算里的弧长之幂级数公式(二)(The formula of

图一《缀术算经》探弧数之参考图形

首先,矢径相乘 \(Ra\) 即为二斜之截背幂(图一中的 \(\overline{AB}^2\))。

建部命其为「泛半背幂」(即 \(AB\) 弧长平方 \((\frac{s}{2})^2\) 的近似值),

接着,以前述计算出的定半背幂 \((\frac{s}{2})^2\) 减去泛半背幂(\(Ra\))为一定差(\(E_1\)),

即 \(E_1=(\frac{s}{2})^2-Ra\),此值可视为截背幂 \(\overline{AB}^2\) 与所求半背幂之间的误差。

接着,建部观察发现一定差(\(E_1\))除以矢幂(\(a^2\))所得之值,约为 \(0.3333335111…\),

据零约术可求得 \(0.3333335111\) 约为 \(\frac{1}{3}\),即 \(E_1\approx \frac{1}{3}a^2\),

建部称此误差近似值 \(\frac{1}{3}a^2\) 为一泛差(\(A_1\))。1

接着以一定差(\(E_1\))减一泛差(\(A_1\))可得 \({(\frac{s}{2})^2} – Ra – \frac{1}{3}{a^2}\) 此为二定差(\(E_2\)),

此值即 \({(\frac{s}{2})^2}\) 与 \(Ra + \frac{1}{3}{a^2}\) 之误差。

类似地,依据实际数值代入可计算出二定差(\(E_2\)),

再除以 \(\frac{1}{3}{a^2}(\frac{a}{R})\) 所得之值约为\(0.533333676191….\),

同样据零约术可求得 \(0.533333676191…\) 约为 \(\frac{8}{15}\),

如此可得 \({E_2} \approx \frac{8}{{15}}\frac{{{a^2}}}{3}(\frac{a}{R}) = \frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R})\),建部称此误差近似值 \(\frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R})\) 为二泛差(\(A_2\))。

接着以二定差(\(E_2\))减二泛差(\(A_2\))

可得 \({(\frac{s}{2})^2} – Ra – \frac{1}{3}{a^2} – \frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R})\) 此为三定差(\(E_3\)),

此值即 \({(\frac{s}{2})^2}\) 与 \(Ra + \frac{1}{3}{a^2} + \frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R})\) 之误差。

类似地,计依实际数值代入可计算出三定差(\(E_3\)),

再除以 \(A_2(\frac{a}{R})\) 所得之值约为 \(0.6428576…\),

同样据零约术可求得 \(0.6428576…\) 约为 \(\frac{9}{14}\),

如此可得 \(E_3\approx\frac{9}{{14}}\frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R})(\frac{a}{R}) = \frac{4}{{35}}{a^2}{(\frac{a}{R})^2}\),建部称此误差近似值三泛差(\(A_3\))。

再接着以三定差(\(E_3\))减三泛差(\(A_3\))

可得 \({(\frac{s}{2})^2} – Ra – \frac{1}{3}{a^2} – \frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R}) – \frac{4}{{35}}{a^2}{(\frac{a}{R})^2}\) 此为四定差(\(E_4\)),

此值即 \((\frac{s}{2})^2\) 与 \(Ra + \frac{1}{3}{a^2} + \frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R}) + \frac{4}{{35}}{a^2}{(\frac{a}{R})^2}\) 之误差。

以此类推,逐次求得至七定差。

综观此过程,建部贤弘欲求 \((\frac{s}{2})^2\) 的展开式,

先求得 \((\frac{s}{2})^2\) 的第一个近似值 \(Ra\),以及第一个误差  \(E_1 = {(\frac{s}{2})^2} – Ra\);

接着求出误差 \(E_1\) 的近似值 \(A_1=\frac{1}{3}a^2\),

便可得 \((\frac{s}{2})^2\) 的第二个近似值 \(Ra + \frac{1}{3}{a^2}\);以及第二个误差 \(E_2={(\frac{s}{2})^2} – Ra – \frac{1}{3}{a^2}\);

接着求出误差 \(E_2\) 的近似值 \(A_2=\frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R})\),

便可得 \((\frac{s}{2})^2\) 的第三个近似值 \(Ra + \frac{1}{3}{a^2} + \frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R})\)。

以此类推,随着这个过程各误差越来越小,便可迭代地求得更精确的半背幂 \((\frac{s}{2})^2\) 展开式:

\({\left( {\frac{s}{2}} \right)^2} = Ra + \frac{1}{3}{a^2} + \frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R}) + \frac{4}{{35}}{a^2}{(\frac{a}{R})^2} + \frac{{128}}{{1575}}{a^2}{(\frac{a}{R})^3} + \frac{{128}}{{2079}}{a^2}{(\frac{a}{R})^3} +\cdots\)

即将弧长相关的 \((\frac{s}{2})^2\) 表示成径(\(R\))与矢(\(a\))的无穷级数展开式。

接着,建部贤弘依据各差係数,探求各差係数之间的一般性关係,接着他提出他所探得之规律:

视求其逐差之乘除之数探会,乘法一差起于一,以逐段增一算之元数二差二、三差三、四差四,以上也,各自乘,奇段为一差、三差、五差,以上者也,直偶段倍数为二差、四差、六差、以上者也。除法,左数起于 一差三,逐段增二算之元数二差五、三差七、四差九,以上也,右数,奇段起于一差一,逐段增一算之元数三差二、五差三、七差四,以上也,偶段起于二差三,逐增二段之元数四差五、六差七、八差九,以上也,探会为以各左右之元数相乘者数

上述内容相当于归纳求出奇数项係数为 \({a_{2k – 1}} = \frac{{{{(2k – 1)}^2}}}{{[2(2k – 1) + 1] \cdot k}}\),偶数项係数为 \({a_{2k}} = \frac{{2{k^2}}}{{(2k + 1) \cdot (4k + 1)}}\),依这些规律可求得任意各项之係数2,因此,此过程相当于求出前述展开式的一般性规律:\({\left( {\frac{s}{2}} \right)^2} = Ra[1 +\sum\limits_{k = 1}^\infty{\frac{{{{(2k)}^2}}}{{(2k + 1)(k + 1)}}} {(\frac{a}{R})^k}]\)

上式可进一步表示成具递迴关係的公式:

\({\left( {\frac{s}{2}} \right)^2} = Ra + \frac{1}{3}{a^2} + {D_1}\frac{8}{{15}}(\frac{a}{R}) + {D_2}\frac{9}{{14}}(\frac{a}{R}) + {D_3}\frac{{32}}{{45}}(\frac{a}{R}) + {D_4}\frac{{25}}{{33}}(\frac{a}{R}) +\cdots\)

即 \({\left( {\frac{s}{2}} \right)^2} = {D_0} + {D_1} + {D_2} + … + {D_k} +\cdots\)

其中, \({D_0} = Ra\)、\({D_k} = \frac{{2 \cdot {k^2}}}{{(k + 1)(2k + 1)}}{D_{k – 1}}(\frac{a}{R})\)。

综合来看,建部贤弘是先割圆辅以累遍增约术,求得「半背幂」,即弧长之半平方的近似值,接着,再据此近似值,反过来探求相关展开发公式。此一进路与一般数学家先求公式,再以公式求数值的方式迥然不同。建部贤弘这种由数值探求公式(据数探术)的方法,其实也是和算家探求术-演算法或公式时常用的重要方法。

参考文献:

建部贤弘,《缀术算经》,1722年。黄俊玮,《关流算学研究及其历史脉络》,学位论文。

1:一泛差即误差「一定差 \(E_1\)」的近似值。
2 事实上,偶数项与奇数项係数的规律可简化为 \({a_k} = \frac{(2k)^2}{(2k+1)(k+1)}\)。



上一篇:
下一篇:

相关推荐