和算里的弧长之幂级数公式(一)(The formula of

2020-06-25 6236

早在中国汉朝《九章算术》里,便出现了圆面积及弓形面积公式,然而,后者所给的仅是近似公式。随着中算书的传入,江户时期日本数学家们对于圆周率与弧长公式的研究,却深感兴趣。前者显然受到中国的影响,后者却是十足的和算产物。譬如说吧,十七世纪初期,今村知商的《竖亥录》(1639)就提出了新的弧长公式(其中,我们以 \(R\) 表示圆之直径、\(c\) 表示弦、\(a\) 表示矢、以 \(s\) 表示弧长):

\(s = \sqrt {(R + \frac{a}{2}) \cdot 4a}\)

当然,这同样也只是近似公式。若我们进一步考察和算早期发展过程所出现的弧长公式,多与

\(s = \sqrt {{c^2} + ({\pi ^2} – 4){a^2}}\)

有关(如表一所示)。不过,若以后见之明来看,并不存在初等的弧长公式,因此,表一中的公式皆是近似公式。

和算里的弧长之幂级数公式(一)(The formula of

表一 早期和算着作中出现的弧长公式与弓形面积公式

在整个和算发展的历史脉络中,关孝和(Seki Takakazu, ?-1708)是开创关流,并奠下整个和算发展基础最重要的数学家,他当然也针对弧长公式进行深入的研究,儘管他以招差法求得了更加精确的公式,不过,同样只是近似公式。

一直得到1722年,建部贤弘(Takebe Katahiro, 1664~1739)所着的《缀术算经》以及宅间流的镰田俊清所着的《宅间流圆理》,才分别以不同的方法求得了相当于幂级数形式的弧长公式,终得以解决了求弧长公式问题。其中,建部贤弘所得的公式为:

\({\left( {\frac{s}{2}} \right)^2} = Ra + \frac{1}{3}{a^2} + \frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R}) + \frac{4}{{35}}{a^2}{(\frac{a}{R})^2} + \frac{{128}}{{1575}}{a^2}{(\frac{a}{R})^3} + \frac{{128}}{{2079}}{a^2}{(\frac{a}{R})^3} + …\)

他将弧长半幂 \((\frac{s}{2})^2\) 表示成径(\(R\))与矢(\(a\))的无穷级数展开式。此公式可进一步表示成具递迴关係的形式:

\({\left( {\frac{s}{2}} \right)^2} = Ra + \frac{1}{3}{a^2} + {D_1}\frac{8}{{15}}(\frac{a}{R}) + {D_2}\frac{9}{{14}}(\frac{a}{R}) + {D_3}\frac{{32}}{{45}}(\frac{a}{R}) + {D_4}\frac{{25}}{{33}}(\frac{a}{R}) + …\)

其中,\(D_0=Ra\)、\({D_k} = \frac{{2 \cdot {k^2}}}{{(k + 1)(2k + 1)}}{D_{k – 1}}(\frac{a}{R})\),\(k\) 为任意自然数。而这个公式与1737年由欧拉(Euler)与约翰.伯努利(Johann Bernoulli)所发现公式相同,可谓数学多元发现又一例。若以反三角函数与微积分的角度来看,它相当于 \((arc \sin\theta)^2\) 对 \(\theta\) 的幂级数展开式。

然而,建部贤弘造出此公式后,认为此公式「合半圆时,于矢之多者,用二差者尽二位;用三差者尽三位,用四差者尽四位,每增用一差(多)尽一位。……不密也。」亦即他对此公式并不满意,他认为依此公式求弧背幂的精确速度不够快,于是再造另一个具递迴关係的公式:

\(\displaystyle\begin{array}{ll}{\left( {\frac{s}{2}} \right)^2} &= Ra + \frac{1}{3}{a^2} + {D_1}\frac{8}{{15}}(\frac{a}{{R – a}}) – {D_2}\frac{5}{{14}}(\frac{a}{{R – a}}) + {D_3}\frac{{12}}{{25}}(\frac{a}{{R – a}}) \\&~~~- {D_4}\frac{{223}}{{398}}(\frac{a}{{R – a}}) + \cdots\end{array}\)

其中,\(D_0=Ra\)、\({D_1} = \frac{1}{3}{a^2}\)、\({D_2} = {D_1}\frac{8}{{15}}(\frac{a}{{R – a}})\)、\(\cdots\)。同样地,他仍不满足于第二个公式的精确速度,于是再造出第三个公式:

和算里的弧长之幂级数公式(一)(The formula of

儘管从第三个公式的前四项来看,难以写出其一般式,不过,建部贤弘所用的方法可不断地继续造出第五项、第六项,当然往后各项之係数也更加複杂,且各项之间没有明显规律。最后,建部评论道:「用二差,所尽及原数之五差;用三差,所尽及原数之八差」,表明此公式的近似速度较前两个公式快得多,因此建部贤弘至此方感到满意。

连结:和算里的弧长之幂级数公式(二)

参考文献:

建部贤弘,《缀术算经》,1722年。黄俊玮,《关流算学研究及其历史脉络》,台湾师大数学系博士学位论文,2014。表一参考自以下专书与论文:徐泽林,《和算中源-和算算法及其中算源流》,页299。下平和夫,〈江户初期的弧、矢、弦公式〉,《数学史研究》,1978(77)。户谷清一,〈江户时代初期的数学书中有圆周率的研究〉,《数学史研究》,1980(87)。

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